Лучше всего в предбаннике уложить электрические теплые полы. Они производятся секциями, которые раскатываются на стяжку до укладки плитки. Плитка укладывается как и при обычной стяжке, только на более толстый слой раствора, для чего используется более крупная гребенка. Думаю это будет самый рациональный способ решить вашу проблему. Металлическую дверь лучше всего утеплить минватой, сделав предварительно небольшой каркас для ее установки.